欧拉-庞卡莱公式

2009/07/11 CAD开发

这个公式是拓扑里面的一个基本公式。我们不必管他的来历。需要了解的是他是什么样子,怎么使用。

公式很简单:

V - E + F - (L - F) - 2(S - G) = 0

这里的各个字幕代表的含义是

  • V :顶点的数目
  • E :边的数目
  • F :面的数目
  • G:洞的数目,拓扑学中通常称为亏格
  • S :壳的数目。壳是一个实体的内部。一个壳由2流形面包围,每个面都可以有自己的亏格。请注意,实体本身算作一个壳。因此,S是至少是1
  • L:环的数量,所有的内,外环都将计入。所谓的环,就是包围一个面的边界,外环就是外边界,内环就是内部的洞的边界。

示例

立方体有8个顶点(V= 8 ) , 12个边( E= 12 )和6个面( F = 6 ) ,没有任何洞.一个壳(S = 1 ) ;但L = F的,因为每个面对只有一个外环。因此,我们有V-E+F-(L-F)2(S-G) = 8-12+6(6-6)–2(1-0) = 0

下面的实体体有16个顶点, 24个边, 11个面,没有洞, 1个壳和12个环( 11面+ 1个顶面的内环) 。因此,V-E+F-(L-F)2(S-G) = 16-24+11(12-11)–2(1-0)=0

eruler example 1

下面的实体有16个顶点, 24个边, 10个面, 1个洞 , 1个壳和12个环( 10个面

  • 2个顶部面和底部面的内环) 。因此,  V-E+F-(L-F)2(S-G) = 16-24+10(12-10)–2(1-1)=0

eruler example 1

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